关于二叉树
二叉树作为树的一种,是一种重要的数据结构,也是面试官经常考的东西。昨天看了一下关于树中的面试题,发现二叉树中的面试题比较常见的题型大概有下面几个:创建一颗二叉树(先序,中序,后序)、遍历一颗二叉树(先序,中序,后序和层次遍历)、求二叉树中叶子节点的个数、求二叉树的高度、求二叉树中两个节点的最近公共祖先、打印和为某一值的全部路径、求某一节点是否在一个树中等等。
再详细的说这些面试题之前,不妨先看一下几种常见的二叉树:
完全二叉树:若二叉树的高度是h,除第h层之外,其他(1~h-1)层的节点数都达到了最大个数,并且第h层的节点都连续的集中在最左边。想到点什么没?实际上,完全二叉树和堆联系比较紧密哈~~~
满二叉树:除最后一层外,每一层上的所有节点都有两个子节点,最后一层都是叶子节点。
哈夫曼树:又称为最有数,这是一种带权路径长度最短的树。哈夫曼编码就是哈夫曼树的应用。
平衡二叉树:所谓平衡二叉树指的是,左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
红黑树:红黑树是每个节点都带颜色的树,节点颜色或是红色或是黑色,红黑树是一种查找树。红黑树有一个重要的性质,从根节点到叶子节点的最长的路径不多于最短的路径的长度的两倍。对于红黑树,插入,删除,查找的复杂度都是O(log N)。
二叉树中的那些面试题
再具体说二叉树中的那些面试题之前,我们先看一下二叉树中的每个节点是什么样的,以及为了完成这些面试题,二叉树中声明的函数原型是什么样的:
二叉树的节点:BinTreeNode
//二叉树的节点类 class BinTreeNode { private: int data; BinTreeNode *left,*right; public: //利用初始化列表完成data,left,rightn的初始化 BinTreeNode(const int &item,BinTreeNode *lPtr = NULL,BinTreeNode *rPtr = NULL):data(item) ,left(lPtr),right(rPtr){}; void set_data(int item) { data = item; } int get_data()const { return data; } void set_left(BinTreeNode *l) { left = l; } BinTreeNode* get_left()const { return left; } void set_right(BinTreeNode *r) { right = r; } BinTreeNode* get_right()const { return right; } };
二叉树原型:BinTree,其中包含了这篇文章中要完成的函数原型的完整声明。
//二叉树 class BinTree { private: BinTreeNode *root; public: BinTree(BinTreeNode *t = NULL):root(t){}; ~BinTree(){delete root;}; void set_root(BinTreeNode *t) { root = t; } BinTreeNode* get_root()const { return root; } //1.创建二叉树 BinTreeNode* create_tree(); //2.前序遍历 void pre_order(BinTreeNode *r)const; //3.中序遍历 void in_order(BinTreeNode *r)const; //4.后序遍历 void post_order(BinTreeNode *r)const; //5.层次遍历 void level_order(BinTreeNode *r)const; //6.获得叶子节点的个数 int get_leaf_num(BinTreeNode *r)const; //7.获得二叉树的高度 int get_tree_height(BinTreeNode *r)const; //8.交换二叉树的左右儿子 void swap_left_right(BinTreeNode *r); //9.求两个节点pNode1和pNode2在以r为树根的树中的最近公共祖先 BinTreeNode* get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const; //10.打印和为某一值的所有路径 void print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const; //11.判断一个节点t是否在以r为根的子树中 bool is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const; };
2.1 创建一颗二叉树
创建一颗二叉树,可以创建先序二叉树,中序二叉树,后序二叉树。我们在创建的时候为了方便,不妨用‘#’表示空节点,这时如果先序序列是:6 4 2 3 # # # # 5 1 # # 7 # #,那么创建的二叉树如下:
下面是创建二叉树的完整代码:穿件一颗二叉树,返回二叉树的根。
//创建二叉树,这里不妨使用前序创建二叉树,遇到‘#’表示节点为空 BinTreeNode* BinTree::create_tree() { char item; BinTreeNode *t,*t_l,*t_r; cin>>item; if(item != '#') { BinTreeNode *pTmpNode = new BinTreeNode(item-48); t = pTmpNode; t_l = create_tree(); t->set_left(t_l); t_r = create_tree(); t->set_right(t_r); return t; } else { t = NULL; return t; } }
2.2 二叉树的遍历
二叉树的遍历分为:先序遍历,中序遍历和后序遍历,这三种遍历的写法是很相似的,利用递归程序完成也是灰常简单的:
//前序遍历 void BinTree::pre_order(BinTreeNode *r)const { BinTreeNode *pTmpNode = r; if(pTmpNode != NULL) { cout<get_data()<<" "; pre_order(pTmpNode->get_left()); pre_order(pTmpNode->get_right()); } } //中序遍历 void BinTree::in_order(BinTreeNode *r)const { BinTreeNode *pTmpNode = r; if(pTmpNode != NULL) { in_order(pTmpNode->get_left()); cout< get_data()<<" "; in_order(pTmpNode->get_right()); } } //后序遍历 void BinTree::post_order(BinTreeNode *r)const { BinTreeNode *pTmpNode = r; if(pTmpNode != NULL) { post_order(pTmpNode->get_left()); post_order(pTmpNode->get_right()); cout< get_data()<<" "; } }
2.3 层次遍历
层次遍历也是二叉树遍历的一种方式,二叉树的层次遍历更像是一种广度优先搜索(BFS)。因此二叉树的层次遍历利用队列来完成是最好不过啦,当然不是说利用别的数据结构不能完成。
//层次遍历 void BinTree::level_order(BinTreeNode *r)const { if(r == NULL) return; dequeq; q.push_back(r); while(!q.empty()) { BinTreeNode *pTmpNode = q.front(); cout< get_data()<<" "; q.pop_front(); if(pTmpNode->get_left() != NULL) { q.push_back(pTmpNode->get_left()); } if(pTmpNode->get_right() != NULL) { q.push_back(pTmpNode->get_right()); } } }
2.4 求二叉树中叶子节点的个数
树中的叶子节点的个数 = 左子树中叶子节点的个数 + 右子树中叶子节点的个数。利用递归代码也是相当的简单,易懂。
//获取叶子节点的个数 int BinTree::get_leaf_num(BinTreeNode *r)const { if(r == NULL)//该节点是空节点,比如建树时候用'#'表示 { return 0; } if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//该节点并不是空的,但是没有孩子节点 { return 1; } //递归整个树的叶子节点个数 = 左子树叶子节点的个数 + 右子树叶子节点的个数 return get_leaf_num(r->get_left()) + get_leaf_num(r->get_right()); }
2.5 求二叉树的高度
求二叉树的高度也是非常简单,不用多说:树的高度 = max(左子树的高度,右子树的高度) + 1 。
//获得二叉树的高度 int BinTree::get_tree_height(BinTreeNode *r)const { if(r == NULL)//节点本身为空 { return 0; } if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//叶子节点 { return 1; } int l_height = get_tree_height(r->get_left()); int r_height = get_tree_height(r->get_right()); return l_height >= r_height ? l_height + 1 : r_height + 1; }
2.6 交换二叉树的左右儿子
交换二叉树的左右儿子,可以先交换根节点的左右儿子节点,然后递归以左右儿子节点为根节点继续进行交换。树中的操作有先天的递归性。
//交换二叉树的左右儿子 void BinTree::swap_left_right(BinTreeNode *r) { if(r == NULL) { return; } BinTreeNode *pTmpNode = r->get_left(); r->set_left(r->get_right()); r->set_right(pTmpNode); swap_left_right(r->get_left()); swap_left_right(r->get_right()); }
2.7 判断一个节点是否在一颗子树中
可以和当前根节点相等,也可以在左子树或者右子树中。
//判断一个节点t是否在以r为根的子树中 bool BinTree::is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const { if(r == NULL) { return false; } else if(r == t) { return true; } else { bool has = false; if(r->get_left() != NULL) { has = is_in_tree(r->get_left(),t); } if(!has && r->get_right()!= NULL) { has = is_in_tree(r->get_right(),t); } return has; } }
2.8 求两个节点的最近公共祖先
求两个节点的公共祖先可以用到上面的:判断一个节点是否在一颗子树中。(1)如果两个节点同时在根节点的右子树中,则最近公共祖先一定在根节点的右子树中。(2)如果两个节点同时在根节点的左子树中,则最近公共祖先一定在根节点的左子树中。(3)如果两个节点一个在根节点的右子树中,一个在根节点的左子树中,则最近公共祖先一定是根节点。当然,要注意的是:可能一个节点pNode1在以另一个节点pNode2为根的子树中,这时pNode2就是这两个节点的最近公共祖先了。显然这也是一个递归的过程啦:
//求两个节点的最近公共祖先 BinTreeNode* BinTree::get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const { //pNode2在以pNode1为根的子树中(每次递归都要判断,放在这里不是很好。) if(is_in_tree(pNode1,pNode2)) { return pNode1; } //pNode1在以pNode2为根的子树中 if(is_in_tree(pNode2,pNode1)) { return pNode2; } bool one_in_left,one_in_right,another_in_left,another_in_right; one_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode1); another_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode2); another_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode2); one_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode1); if((one_in_left && another_in_right) || (one_in_right && another_in_left)) { return r; } else if(one_in_left && another_in_left) { return get_nearest_common_father(r->get_left(),pNode1,pNode2); } else if(one_in_right && another_in_right) { return get_nearest_common_father(r->get_right(),pNode1,pNode2); } else { return NULL; } }
可以看到这种做法,进行了大量的重复搜素,其实有另外一种做法,那就是存储找到这两个节点的过程中经过的所有节点到两个容器中,然后遍历这两个容器,第一个不同的节点的父节点就是我们要找的节点啦。 实际上这还是采用了空间换时间的方法。
2.9 从根节点开始找到所有路径,使得路径上的节点值和为某一数值(路径不一定以叶子节点结束)
这道题要找到所有的路径,显然是用深度优先搜索(DFS)啦。但是我们发现DFS所用的栈和输出路径所用的栈应该不是一个栈,栈中的数据是相反的。看看代码:注意使用的两个栈。
//注意这两个栈的使用 stackdfs_s; stack print_s; //打印出从r开始的和为sum的所有路径 void BinTree::print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const { if(r == NULL) { return; } //入栈 sum -= r->get_data(); dfs_s.push(r); if(sum <= 0) { if(sum == 0) { while(!dfs_s.empty()) { print_s.push(dfs_s.top()); dfs_s.pop(); } while(!print_s.empty()) { cout< get_data()<<" "; dfs_s.push(print_s.top()); print_s.pop(); } cout< get_data(); dfs_s.pop(); return; } //递归进入左子树 print_rout(r->get_left(),sum); //递归进入右子树 print_rout(r->get_right(),sum); //出栈 sum += r->get_data(); dfs_s.pop(); }
最后,给出一点测试代码:
int main() { BinTree tree; /*--------------------------------------------------------------------------*/ cout<<"请输入二叉树前序序列进行建树,'#'代表空节点:"<get_left()->get_right(); BinTreeNode *p2 = tree.get_root()->get_left()->get_left(); BinTreeNode *p3 = tree.get_root()->get_right()->get_right()->get_right(); cout< get_data()<<" 和 "< get_data()<<"的最近公共祖先是:"; BinTreeNode *p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p2); cout< get_data()< get_data()<<" 和 "< get_data()<<"的最近公共祖先是:"; p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p3); cout< get_data()< 运行结果:
以上内容,只是本人看过的面试题目的一点总结,可能不够全,可能其中的代码也有很多的错误,可能其中的内容有点水,但是我想对那部分即将参加面试的应届毕业生还是有帮助的。。大神们勿喷~~~